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<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<title></title>
<!-- 2017-05-28 Sun 22:59 -->
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<slide class="title-slide segue nobackground">
<aside class="gdbar"><img src="images/clojure-tw.png"></aside>
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<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-org1623ace" class="outline-4">
<h4 id="org1623ace">大綱</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>本投影片主要是深入探討 clojure 中的 math.numeric-tower 函式庫</li>
</ul>
<ul>
<li>著重於探討數值塔和函數的關係，還有處理數值塔的控制流程</li>
</ul>
<ul>
<li>對於深入的 Clojure 與 Java 型別並沒有特別討論</li>
</ul>
<ul>
<li>在 dev.clojure.org 中，也有在開發過程中不錯的討論：</li>
<li><a href="https://dev.clojure.org/jira/browse/MTOWER-3">unnecessary reflection used in math functions for coercion (bigint)</a></li>
<li><a href="https://dev.clojure.org/jira/browse/MTOWER-2">Eliminate a few uses of Reflection in math.numeric-tower</a></li>
</ul>
<ul>
<li>此外，可能有錯誤的地方請不吝指正，謝謝！</li>
</ul>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" class=" segue dark quote nobackground" style="background-image: url(nil)">
<aside class="gdbar right bottom"><img src="images/clojure-tw.png"></aside><hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-org2a55662" class="outline-2">
<h2 id="org2a55662">數值塔 Numerical tower</h2>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="flexbox vleft auto-fadein" id="text-">
</article>
</slide>
<slide id="sec-" class="fill white nobackground" style="background-image: url(images/taipei-101.jpg)">
<hgroup class="">
<h2 class="white "><div id="outline-container-orgfee2170" class="outline-4">
<h4 id="orgfee2170">什麼塔？</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-org2659111" class="outline-4">
<h4 id="org2659111">什麼是數值塔（Numerical tower）？</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>任何的數字，都可以被組織在一個子集的塔，塔中每一層是上一層的子集</li>
</ul>
<article class="flexbox vcenter">
<div class="figure">
<p><img src="images/numerical-tower.png" alt="numerical-tower.png" width="400px" />
</p>
</div>
</article>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-orgf153b61" class="outline-4">
<h4 id="orgf153b61">類型到定義</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>當數值塔被建立起來，就可以依據每一層對應一種抽象的數值對象</li>
</ul>
<ul>
<li>而抽象的數值對象，則可以用函數定義，如 number? , complex? , real? , rational?</li>
</ul>
<ul>
<li>由於數值對象具有子集層層包含的關係，在電腦中處理會變得複雜
<ul>
<li><b>多重表示</b> ：數值塔越底層的對象，可以被更多重的表示</li>
<li>例如：整數可以被表示為有理數、實數和複數</li>
</ul></li>
</ul>
<ul>
<li>這個概念主要在 Scheme 被提出，Clojure 也使用這個概念</li>
</ul>
<ul>
<li>題外話，網路上也有一些 Python 和數值塔的討論</li>
</ul>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-orgcca28e5" class="outline-4">
<h4 id="orgcca28e5">絕對值函數 ( abs )</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>為了解決數值塔的問題，我們首先看 Clojure 的絕對值函數：</li>
</ul>
<div class="org-src-container">
<pre class="prettyprint" data-lang="clojure">
(defn abs "(abs n) is the absolute value of n" [n]
(cond
(not (number? n)) (throw (IllegalArgumentException.
"abs requires a number"))
(neg? n) (minus n)
:else n))
</pre>
</div>
<ul>
<li>這邊蠻容易可以觀察出來，解決數值塔的問題就從塔最上層開始檢查</li>
</ul>
<ul>
<li>一路往下層的子集去檢驗，這邊只對非數值（number?）分流出去丟錯誤</li>
</ul>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-orgf5d97d5" class="outline-4">
<h4 id="orgf5d97d5">最大公因數函數 ( gcd )</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>這邊也可以看到，gcd 先對 a 或 b 兩個都要是整數做處理，不是整數就丟錯誤</li>
</ul>
<ul>
<li>接著就是實現 gcd 的數學問題，這邊可以注意到特別判斷了有一數是 0 的情況</li>
</ul>
<div class="org-src-container">
<pre class="prettyprint" data-lang="clojure">
(defn gcd "(gcd a b) returns the greatest common divisor of a and b" [a b]
(if (or (not (integer? a)) (not (integer? b)))
(throw (IllegalArgumentException. "gcd requires two integers"))
(loop [a (abs a) b (abs b)]
(if (zero? b) a,
(recur b (mod a b))))))
</pre>
</div>
<ul>
<li>迷之音：很美的實現！</li>
</ul>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-org4509062" class="outline-4">
<h4 id="org4509062">最小公倍數函數 ( lcm )</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>最小公倍數的算法有特殊公式，可從 gcd 反推回來，所以很普通</li>
</ul>
<ul>
<li>可以特別注意到的是這邊用 when 來判斷輸入型別，而非 if
<ul>
<li><a href="https://stackoverflow.com/questions/25948511/when-to-use-if-vs-when-in-clojure">When to use if vs. when in Clojure</a></li>
</ul></li>
</ul>
<div class="org-src-container">
<pre class="prettyprint" data-lang="clojure">
(defn lcm
"(lcm a b) returns the least common multiple of a and b"
[a b]
(when (or (not (integer? a)) (not (integer? b)))
(throw (IllegalArgumentException. "lcm requires two integers")))
(cond (zero? a) 0
(zero? b) 0
:else (abs (mult b (quot a (gcd a b))))))
</pre>
</div>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-org8ad4f03" class="outline-4">
<h4 id="org8ad4f03">指數函數 ( expt )</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>接著我們看稍微複雜的指數函數，首先對於容易計算的做個過濾</li>
</ul>
<div class="org-src-container">
<pre class="prettyprint" data-lang="clojure">
(defn expt
[base pow]
(if (and (not (float? base)) (integer? pow))
(cond
... ;; 不是浮點數為底且指數次方為整數者，接著處理 ( -> 進入第二層 )
)
(Math/pow base pow))) ;; 太複雜的就直接 pow 函數來吧!
</pre>
</div>
<ul>
<li>不容易計算的，就直接硬幹帶入 Math/pow 函數中處理</li>
</ul>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-orgb3fa05f" class="outline-4">
<h4 id="orgb3fa05f">指數函數 ( expt )</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>第二層開始分正的次方、零的次方、負的次方做處理</li>
</ul>
<div class="org-src-container">
<pre class="prettyprint" data-lang="clojure">
...
(cond
(pos? pow) (expt-int base pow) ;; 正的次方 -> 用專門算整數次方的函數計算
(zero? pow) (cond
... ;; 0 的次方 -> 0 的次方基本上是 1 ( -> 進入第三層 )
)
:else (/ 1 (expt-int base (minus pow)))) ;; 負的次方 -> 轉成正的次方處理，並做個倒數
...
</pre>
</div>
<ul>
<li>0 的次方是 1 ，是數值塔最下層的元素，那回傳應該依照什麼型別呢？</li>
</ul>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-orgc5c6902" class="outline-4">
<h4 id="orgc5c6902">指數函數 ( expt )</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<div class="org-src-container">
<pre class="prettyprint" data-lang="clojure">
;; 零的次方
...
(cond
(= (type base) BigDecimal) 1M
(= (type base) java.math.BigInteger) (java.math.BigInteger. "1")
(when-available clojure.lang.BigInt (= (type base) clojure.lang.BigInt))
(when-available clojure.lang.BigInt (bigint 1))
:else 1)
...
</pre>
</div>
<ul>
<li>這邊可以觀察到，是根據底數（base）的型別做回傳，因為主角就是底數</li>
<li>這邊同時處理 clojure 與 java 的數值型別，而不單單只是 clojure</li>
<li>clojure 部分有套一個 when-available 函數，若有誤就丟錯誤</li>
</ul>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-orgaa50683" class="outline-4">
<h4 id="orgaa50683">數值塔幫助思考</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>這邊就能發現，數值塔需要去捕捉輸入的型別，可能會讓輸出延續那個型別</li>
</ul>
<ul>
<li>這邊就要考慮，輸入、輸出與數學函數運算過程中會遇到的型別問題</li>
</ul>
<ul>
<li>此外，像 Clojure 與 Java 可以互相使用的話，彼此的數字型別也要照顧到</li>
</ul>
<ul>
<li>這給予我們一個範例，若要在 Clojure 中建立一個數學相關的 library</li>
</ul>
<ul>
<li>不過，事情還沒結束！我們可以透過 defprotocol 與 extend-type 做得更好</li>
</ul>
</article>
</slide>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" class=" segue dark quote nobackground" style="background-image: url(nil)">
<aside class="gdbar right bottom"><img src="images/clojure-tw.png"></aside><hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-org058cfcf" class="outline-2">
<h2 id="org058cfcf">defprotocol 與 extend-type</h2>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="flexbox vleft auto-fadein" id="text-">
</article>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-org4d900ea" class="outline-4">
<h4 id="org4d900ea">數值型別 + 數學函數 = 類（Class）？</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>當在處理數值塔，能發現我們不斷在處理數值型別判斷與數學函數的運算</li>
</ul>
<ul>
<li>感覺就是很物件導向（？）進一步思考，或許可以使用 defprotocol</li>
</ul>
<ul>
<li>使用 defprotocol 這個 macro 來提供一個方法（Method）的簽名，對應一個數學函數</li>
</ul>
<ul>
<li>再透過 macro - extend-type 來將數學函數對應到不同的 type 的處理</li>
</ul>
<ul>
<li>個人觀察：感覺是需要頻繁上下數值塔的 type 才需要這樣做，例如高斯類型的函數（floor, ceil）</li>
</ul>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-org9be890f" class="outline-4">
<h4 id="org9be890f">defprotocol 與 extend-type</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<article class="flexbox vcenter">
<div class="figure">
<p><img src="images/extend-type.png" alt="extend-type.png" width="800px" />
</p>
</div>
</article>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-orgefac121" class="outline-4">
<h4 id="orgefac121">defprotocol</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>看個 defprotocol 的例子，這邊可以看到只是做個簽名</li>
</ul>
<div class="org-src-container">
<pre class="prettyprint" data-lang="clojure">
(defprotocol MathFunctions
(floor [n] "(floor n) returns the greatest integer less than or equal to n.
If n is an exact number, floor returns an integer, otherwise a double.")
(ceil [n] "(ceil n) returns the least integer greater than or equal to n.
If n is an exact number, ceil returns an integer, otherwise a double.")
(round [n] "(round n) rounds to the nearest integer.
round always returns an integer. Rounds up for values exactly in between two integers.")
(integer-length [n] "Length of integer in binary")
(sqrt [n] "Square root, but returns exact number if possible."))
</pre>
</div>
<ul>
<li>隨後也緊跟著 declare 宣告 sqrt-integer, sqrt-ratio 與 sqrt-decimal</li>
<li>用來在 extend-type 中實現如何處理不同類型的方根</li>
</ul>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-orge893f5a" class="outline-4">
<h4 id="orge893f5a">extend-type</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>也來看兩個 extend-type 的處理</li>
</ul>
<div class="org-src-container">
<pre class="prettyprint" data-lang="clojure">
;; 整數的 extend-type : 整數做 floor, ceil 與 round 根本不變
(extend-type
Integer MathFunctions
(floor [n] n) (ceil [n] n) (round [n] n)
(integer-length [n] (- 32 (Integer/numberOfLeadingZeros n)))
(sqrt [n] (sqrt-integer n))) ;; 處理整數的方根問題，另代函數處理
</pre>
</div>
<div class="org-src-container">
<pre class="prettyprint" data-lang="clojure">
;; 雙精度浮點數的 extend-type : 直接套公式
(extend-type
Double MathFunctions
(floor [n] (Math/floor n)) (ceil [n] (Math/ceil n))
(round [n] (Math/round n)) (sqrt [n] (Math/sqrt n)))
</pre>
</div>
</article>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-orga6916cc" class="outline-4">
<h4 id="orga6916cc">exact-integer-sqrt 與 sqrt-integer</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>在處理對整數取方根的問題時，我們遇到回傳問題，如果回傳要保持整數的話：
<ul>
<li>取距離整數開根號之後的值，最小的整數？</li>
</ul></li>
</ul>
<ul>
<li>0 的次方是 1 要回傳整數或浮點數，是一個數值塔「下層」往「上層」處理</li>
</ul>
<ul>
<li>現在是一個「下層」運算完到「上層」，會需要做取捨才能回到「下層」</li>
</ul>
<ul>
<li>類似於整數除整數的問題</li>
</ul>
<ul>
<li>所以在 Clojure 中，就特別用 sqrt-integer 表示回傳最接近方根的整數</li>
</ul>
<ul>
<li>用 exact (精確) 回傳 double 的方根值，確切近似精確的方根數值</li>
</ul>
</article>
</slide>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" class=" segue dark quote nobackground" style="background-image: url(nil)">
<aside class="gdbar right bottom"><img src="images/clojure-tw.png"></aside><hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-org50d2a27" class="outline-2">
<h2 id="org50d2a27">研究心得</h2>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="flexbox vleft auto-fadein" id="text-">
</article>
</slide>
<slide id="sec-" >
<hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-org7a056df" class="outline-4">
<h4 id="org7a056df">研究心得</h4>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="" id="text-">
<ul>
<li>數值塔是個很不錯的概念，可以對應到代數中封閉性的問題</li>
</ul>
<ul>
<li>本 library 是一個很好的範例，提供很多命名、控制流程的參考：</li>
</ul>
<p>
1 . 遞迴表示數學函數（ gcd, integer-sqrt ）
</p>
<p>
2 . 用 when 和 if 控制數值塔的上上下下，對輸入做立即檢查和丟錯誤
</p>
<p>
3 . 透過 defprotocol 與 extend-type 來將函數代入型別做各自的實現
</p>
<p>
4 . 透過 exact 函數前綴，來處理回傳型別是否和輸入保持相同型別
</p>
<p>
5 . 還有更多 clojure 與 java 處理基本型別的函數（BigDecimal, BigInt）
</p>
</article>
</slide>
</slide>
</slide>
<slide id="sec-" class=" segue dark quote nobackground" style="background-image: url(nil)">
<aside class="gdbar right bottom"><img src="images/clojure-tw.png"></aside><hgroup class="">
<h2 class=" "><div id="outline-container-org3c0951d" class="outline-2">
<h2 id="org3c0951d">Thank You</h2>
</div>
</h2>
<h3></h3>
</hgroup>
<article class="flexbox vleft auto-fadein" id="text-">
<p>
</p>
</article>
</slide>
<slide class="backdrop"></slide>
</slides>
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