Uma grandeza evolui conforme o seguinte modelo:
Calcule o valor de
#@title Solução, para visulziar,clique com o botão direito, form, show code
from scipy.integrate import solve_ivp
import numpy as np
def funcao(t, y):
return np.sin(y)
solucao = solve_ivp(funcao, [0, 10], [1], dense_output=True)
# [0, 10] = tempo inicial e final. # [1] = condição inicial.
# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
print('y(1) = {}'.format(solucao.sol(1)[0]))
print('y(10) = {}'.format(solucao.sol(10)[0]))y(1) = 1.9562221906691104
y(10) = 3.141199788435012
solucao.sol(10)- Trace o gráfico da solução do problema anterior para t entre 0 e 10.
# Espaço para solução.#@title Solução
import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots()
t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 50)
y = solucao.sol(t)[0]
ax.plot(t, y)
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle("$y'(t) = \sin(y(t))$")
plt.show()
t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 50)
solucao.tarray([ 0. , 0.10353304, 1.13886349, 2.55480483, 3.97074618,
5.36541889, 7.18113605, 9.50979783, 10. ])
-
Considere o problema de valor inicial dado por: $$ x'(t) = -t*x(t) $$ com
$x(0)=10$ . -
Calcule o valor de
$x(1)$ e$x(2)$ .
def funcao(t, x):
return -t*x
solucao = solve_ivp(funcao, [0, 2], [10], dense_output=True)
# [0, 2] = tempo inicial e final. # [10] = condição inicial.
# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
print('x(1) = {}'.format(solucao.sol(1)[0]))
print('x(2) = {}'.format(solucao.sol(2)[0]))x(1) = 6.065268889981434
x(2) = 1.3548113886903383
- Trace o gráfico da solução do problema anterior para t entre 0 e 2.
fig, ax = plt.subplots()
t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 50)
y = solucao.sol(t)[0]
ax.plot(t, y)
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle("$x'(t) = -t~\!x(t)$")
plt.show()
-
Considere o problema de valor inicial dado por: $$ x'(t) = -x(t) + t $$ com
$x(0)=10$ . -
Calcule o valor de
$x(1)$ e$x(2)$ .
def funcao(t, x):
return -x + t
solucao = solve_ivp(funcao, [0, 20], [10], dense_output=True)
# [0, 2] = tempo inicial e final. # [10] = condição inicial.
# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
print('y(1) = {}'.format(solucao.sol(1)[0]))
print('y(10) = {}'.format(solucao.sol(2)[0]))y(1) = 4.049253276619779
y(10) = 2.4900595507403107
- Trace o gráfico da solução do problema anterior para t entre 0 e 2.
fig, ax = plt.subplots()
t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 50)
y = solucao.sol(t)[0]
ax.plot(t, y)
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle("$x'(t) = -x(t)+t$")
plt.show()
-
Considere o seguinte modelo:
$$x'(t) = \sin(t) ~!x(t) $$ com$x(0)=1$ . -
Trace o gráfico de
$x(t)$ para t entre 0 e 20. -
Use t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 150) para traçar 150 pontos.
def funcao(t, x):
return np.sin(t)*x
solucao = solve_ivp(funcao, [0, 20], [1], dense_output=True)
# [0, 20] = tempo inicial e final. # [1] = condição inicial.
fig, ax = plt.subplots()
t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 150)
x = solucao.sol(t)[0]
ax.plot(t, x)
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle("$x'(t)= \sin(t)~\!x(t)$")
plt.show()
Considere um modelo para o oscilador linear amortecido dado por: $$ \begin{eqnarray*} x'(t)&=& -y(t)\ y'(t)&=& x(t) - 0.1 y(t) \end{eqnarray*} $$
-
Use
$x(0)=1$ e$y(0)=0$ . -
Trace o gráfico de
$x(t)$ e$y(t)$ para t entre 0 e 20.
Obs. Use pelo menos 100 pontos para traçar no gráfico.
def funcao(t, V):
x, y = V
return -y, x - 0.1*y
solucao = solve_ivp(funcao, [0, 20], [1, 0], dense_output=True)
# [0, 20] = tempo inicial e final. # [1, 0] = condição inicial.
fig, ax = plt.subplots()
t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 100)
x = solucao.sol(t)[0]
y = solucao.sol(t)[1]
ax.plot(t, x)
ax.plot(t, y)
ax.grid(True)
ax.legend(['$x(t)$', '$y(t)$'])
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle("$x'(t)= -y(t), ~~~~~y'(t)= x(t) - 0.1 y(t)$")
plt.show()
#Questão 6
-
Considere o modelo de crescimento sigmóide. Insira o fenômeno de consumo de recursos do meio considerando que o parâmetro
$R$ não é mais constante, mas uma variável que descresce no tempo conforme o tamanho da populção$N(t)$ : $$ \begin{align} N'(t)&= cN(t)(R(t)-N(t)) \[0.2cm] R'(t)&= -a N(t) \end{align} $$ onde é a constante que relaciona o consumo de recursos com o tamanho da população. -
Realize a simulação para os dados abaixo:
$$a=0.01, ~~~c = 0.000008,~~~ N(0)=1~~~\text{e}~~~ R(0)=10000$$ -
Trace o gráfico com os resultados para t entre 0 e 200 dias.
#@title Solução
def funcao(t, NR):
N, R = NR
return 8e-6*N*(R-N), -0.01*N # if R>0 else 0
solucao = solve_ivp(funcao, [0, 300], [1, 10_000], dense_output=True)
fig, ax = plt.subplots()
t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 100)
N = solucao.sol(t)[0]
R = solucao.sol(t)[1]
ax.plot(t, N)
ax.plot(t, R)
ax.grid(True)
ax.legend(['$N(t)$', '$R(t)$'])
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle("Crescimento com consumo de recursos")
plt.show()
-
Considere as equações para o oscilador de Van der Pol: $$\begin{eqnarray*} x'(t) &=& y(t),\ y'(t) &=& \mu(1-x(t)^2) y(t)-x(t). \end{eqnarray*}$$
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Trace soluções para este problema com t entre 0 e 100. $$ \mu=3, ~~~ x(0)=1 ~~~\text{e}~~~ y(0)=1.$$
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Dica: Use muitos pontos no traçado do gráfico.
def funcao(t, xy):
x, y = xy
return y, 3*(1-x**2)*y - x
solucao = solve_ivp(funcao, [0, 40], [1, 1], dense_output=True)
fig, ax = plt.subplots()
t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 300)
N = solucao.sol(t)[0]
R = solucao.sol(t)[1]
ax.plot(t, N)
ax.plot(t, R)
ax.grid(True)
ax.legend(['$x(t)$', '$y(t)$'])
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle("Oscilador de Van der Pol")
plt.show()