Skip to content

Latest commit

 

History

History
612 lines (598 loc) · 50.1 KB

zkouska.md

File metadata and controls

612 lines (598 loc) · 50.1 KB

Zkouška

Metrické prostory

  • Definice: Metrický prostor, příklady, $\mathbb E_n$
    • metrický prostor je uspořádaná dvojice $(X,d)$, kde $X$ je množina a $d:X\times X\to\mathbb R$ je funkce, pro níž platí ($\forall x,y,z\in X$)
      • $d(x,y)\geq 0$
      • $d(x,y)=0\iff x=y$
      • $d(x,y)=d(y,x)$
      • $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ … trojúhelníková nerovnost
    • příklady
      • $(\mathbb R,|x-y|)$
      • $(\mathbb C,|x-y|)$
      • euklidovský prostor $\mathbb E_n$ je metrický prostor $(\mathbb R^n,d)$, kde $d(x,y)=\sqrt{\sum_i(x_i-y_i)^2}$
        • tzn. $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$, kde $\lVert u\rVert=\sqrt{\braket{u|u}}$
      • diskrétní prostor $(X,d)$, kde $d(x,y)=1$ pro $x\neq y$
      • prostor funkcí $(F(a,b),d)$
        • $F(a,b)$ … množina všech omezených funkcí na intervalu $\braket{a,b}$
        • $d(f,g)=\sup\Set{|f(x)-g(x)|\mid a\leq x\leq b}$
  • Definice: Podprostor metrického prostoru
    • mějme $(X,d)$ metrický prostor a podmnožinu $Y\subseteq X$
    • tato podmnožina tvoří podprostor $(Y,d')$, kde $d'(x,y)=d(x,y)$
  • Definice: Spojité zobrazení, konvergence
    • zobrazení $f:(X,d)\to (Y,d')$ je spojité, platí-li $(\forall x,y\in X)(\forall\varepsilon\gt 0)(\exists\delta\gt 0):d(x,y)\lt\delta\implies d'(f(x),f(y))\lt\varepsilon$
      • složení spojitých zobrazení je spojité
    • pro posloupnost $(x_n)_n$ definujeme $\lim_n x_n=x$ takto: $(\forall\varepsilon\gt 0)(\exists n_0):n\geq n_0\implies d(x,x_n)\lt\varepsilon$
      • pokud limita existuje, jde o konvergentní posloupnost
  • Věta: Spojitost a konvergence
    • věta: zobrazení $f:(X_1,d_1)\to (X_2,d_2)$ je spojité, právě když pro každou konvergentní posloupnost $(x_n)_n$ v $(X_1,d_1)$ posloupnost $(f(x_n))_n$ konverguje v $(X_2,d_2)$ a platí $\lim_nf(x_n)=f(\lim_nx_n)$
    • důkaz
      • $\implies$
        • mějme $f$ spojitou a konvergentní posloupnost $(x_n)_n$, kde $\lim_n x_n=x$
        • ze spojitosti můžeme pro $\varepsilon\gt 0$ zvolit $\delta\gt0$ tak, aby $d_1(x,y)\lt\delta\implies d_2(f(x),f(y))\lt\varepsilon$
        • podle konvergence existuje $n_0$ takové, že pro $n\geq n_0$ je $d_1(x_n,x)\lt\delta$
        • tedy pro $n\geq n_0$ máme $d_2(f(x_n),f(x))\lt\varepsilon$
        • tudíž $\lim_nf(x_n)=f(\lim_nx_n)$
      • $\impliedby$ obměnou
        • nechť $f$ není spojitá
        • tzn. $(\exists x\in X_1)(\exists\varepsilon_0\gt 0)(\forall\delta\gt 0)(\exists x(\delta)):$ $d_1(x,x(\delta))\lt\delta\land d_2(f(x),f(x(\delta)))\geq\varepsilon_0$
        • položme $x_n=x(\frac1n)$
        • pak $\lim_nx_n=x$, ale $(f(x_n))_n$ nemůže konvergovat k $f(x)$
  • Definice: Okolí, otevřené a uzavřené množiny
    • epsilonové okolí … $\Omega(x,\varepsilon)=\set{y\mid d(x,y)\lt\varepsilon}$
    • obecné okolí $U$ bodu $x$ je taková podmnožina, že existuje $\varepsilon\gt0$ takové, že $\Omega(x,\varepsilon)\subseteq U$
      • nadmnožina okolí je okolí
      • průnik dvou okolí je okolí
    • $U\subseteq(X,d)$ je otevřená, je-li okolím každého svého bodu
      • $\emptyset$ a $X$ jsou otevřené
      • sjednocení otevřených množin je otevřené
      • průnik dvou otevřených množin je otevřený
    • $A\subseteq(X,d)$ je uzavřená v $(X,d)$, jestliže každá posloupnost $(x_n)_n\subseteq A$ konvergentní v $X$ má $\lim_n x_n\in A$
    • nejde o dichotomii
    • tvrzení: $A\subseteq (X,d)$ je uzavřená v $(X,d)$, právě když $X\setminus A$ je otevřená
      • když $X\setminus A$ není otevřená (má nějaký „problémový bod“ $x$, jehož libovolně malé epsilonové okolí není celé v $X\setminus A$), tak se dá najít posloupnost v $A$ s limitou v $x\notin A$
      • když $X\setminus A$ je otevřená a kdyby existovala posloupnost v $A$ s limitou v $x\notin A$, tak epsilonové okolí $x$ není v $A$, tedy pro dost velké $n$ se prvky posloupnosti musí dostat mimo $A$, což je spor
  • Definice: Uzávěr
    • vzdálenost bodu od množiny
      • $d(x,A)=\inf\set{d(x,a)\mid a\in A}$
    • uzávěr množiny $A$
      • $\overline A=\set{x\mid d(x,A)=0}$
    • uzávěr je množina všech limit konvergentních posloupností v dané množině
    • uzávěr je uzavřená množina (dokonce nejmenší uzavřená množina obsahující původní množinu)
  • Věta: Spojitost a vzory otevřených a uzavřených podmnožin
    • věta
      • mějme metrické prostory $(X_1,d_1),(X_2,d_2)$ a zobrazení $f:X_1\to X_2$
      • potom jsou následující tvrzení ekvivalentní
        1. $f$ je spojité
        2. pro každý bod $x\in X_1$ a každé okolí $V$ bodu $f(x)$ existuje okolí $U$ bodu $x$ takové, že $f[U]\subseteq V$
        3. pro každou otevřenou $U$ v $X_2$ je vzor $f^{-1}[U]$ otevřený v $X_1$
        4. pro každou uzavřenou $A$ v $X_2$ je vzor $f^{-1}[A]$ uzavřený v $X_1$
        5. pro každou $A\subseteq X_1$ je $f[\overline A]\subseteq\overline{f[A]}$
    • důkaz
      • $1.\iff2.$
        • definice spojitosti říká, že ke každému okolí $\Omega(f(x),\varepsilon)$ existuje okolí $\Omega(x,\delta)$ takové, že $f[\Omega(x,\delta)]\subseteq\Omega(f(x),\varepsilon)$
        • dále rozšíříme na obecné okolí
      • $2.\implies 3.$
        • máme otevřenou množinu $V$
        • máme $x\in f^{-1}[V]$, tedy $f(x)\in V$, kde $V$ je okolí $f(x)$
        • existuje $U$ okolí $x$ takové, že $f[U]\subseteq V$
        • $U\subseteq f^{-1}f[U]\subseteq f^{-1}[V]$
        • takže $f^{-1}[V]$ je okolí $x$
        • otevřenost plyne z toho, že to platí pro všechny $f(x)\in V$ (respektive $x\in f^{-1}[V]$)
      • $3.\iff 4.$
        • vzorové zobrazení $M\mapsto f^{-1}[M]$ zachovává doplňky podmnožin
      • $4.\implies 5.$
        • $\overline M\subseteq f^{-1}[\overline{f[M]}]$ (vzor uzávěru je uzavřený)
        • $f[\overline M]\subseteq\overline{f[M]}$
      • $5.\implies 2.$
        • použijeme to, že vzor zachovává doplňky
  • Definice: Topologické pojmy
    • vzájemně jednoznačné spojité zobrazení $f:(X_1,d_1)\to(X_2,d_2)$ takové, že i inverzní $f^{-1}$ je spojité, se nazývá homeomorfismus a o $X_1,X_2$ mluvíme jako o homeomorfních prostorech
    • vlastnost, pojem nebo definice je topologická, zachovává-li se při homeomorfismech
    • příklady topologických vlastností a pojmů: konvergence, otevřenost a uzavřenost, uzávěr, okolí, spojitost (stejnoměrná nikoliv)
  • Definice: Ekvivalentní a silně ekvivalentní metriky; silně ekvivalentní metriky v $\mathbb E_n$
    • $d_1,d_2$ jsou ekvivalentní, pokud je zobrazení $(X,d_1)\to(X,d_2)$ homeomorfismus
    • $d_1,d_2$ jsou silně ekvivalentní, existují-li kladné konstanty $\alpha,\beta$ takové, že $\alpha\cdot d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq\beta\cdot d_1(x,y)$
    • silně ekvivalentní metriky v $\mathbb E_n$
      • $d(x,y)=\sqrt{\sum_i(x_i-y_i)^2}$
      • $\sigma(x,y)=\max_i{|x_i-y_i|}$
    • důkaz silné ekvivalence $d$ a $\sigma$
      • triviálně $\sigma\leq d$ … stačí vzít největší sčítanec pod odmocninou
      • nahrazením všech sčítanců tím největším získáme $d(x,y)\leq\sqrt n\cdot\sigma(x,y)$
  • Definice: Stejnoměrná spojitost
    • zobrazení $f:(X,d)\to(Y,d')$ je stejnoměrně spojité, pokud…
      • $(\forall\varepsilon)(\exists\delta)(\forall x)(\forall y):d(x,y)\lt\delta\implies d'(f(x),f(y))\lt\varepsilon$
    • rozdíl vůči (klasické) spojitosti spočívá v pořadí kvantifikátorů – u spojitosti je to $(\forall x)(\forall y)(\forall\varepsilon)(\exists\delta)$
    • např. $f(x)=x^2$ je spojitá funkce, ale není stejnoměrně spojitá
  • Věta: Součiny a projekce
    • pro $(X_i,d_i),,i=1,\dots,n$ definujme na kartézském součinu $\prod_{i=1}^n X_i$ vzdálenost $d(x,y)=\max_id_i(x_i,y_i)$
    • takto získaný prostor $(\prod_iX_i,d)=\prod_i(X_i,d_i)$ nazýváme součinem prostorů $(X_i,d_i)$
    • věta
      1. $\forall j\in\set{1,\dots,n}$ projekce $p_j:\prod_i(X_i,d_i)\to(X_j,d_j)$, kde $p_j(x)=x_j$, je spojité zobrazení
      2. jsou-li $f_j:(Y,d')\to(X_j,d_j)$ libovolná spojitá zobrazení, potom jednoznačně určené zobrazení $f:(Y,d')\to\prod_i(X_i,d_i)$ splňující $p_j\circ f=f_j$, totiž zobrazení definované předpisem $f(y)=(f_1(y),\dots,f_n(y))$, je spojité
    • důkaz
      1. zjevně $\sigma(x_j,y_j)\leq\sigma((x_1,\dots,x_j,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_j,\dots,y_n))$
      2. plyne z použití zde zadefinované metriky $d(x,y)$

Kompaktní prostory

  • Věta: Kompaktní prostor, podprostor, součin
    • definice: metrický prostor $(X,d)$ je kompaktní, obsahuje-li v něm každá posloupnost konvergentní podposloupnost
    • tvrzení: podprostor kompaktního prostoru je kompaktní, právě když je uzavřený
      • mějme posloupnost v uzavřeném podprostoru, tato posloupnost má podposloupnost s limitou v kompaktním prostoru – z uzavřenosti tato limita musí být v podprostoru
      • mějme posloupnost v otevřeném podprostoru, ta má limitu mimo podprostor – každá její podposloupnost má tu stejnou limitu mimo podprostor, tedy daná posloupnost není konvergentní v podprostoru
    • tvrzení: je-li podprostor $Y$ metrického prostoru $(X,d)$ kompaktní, pak je $Y$ uzavřený v $(X,d)$
      • mějme posloupnost v kompaktním podprostoru, která konverguje k $y\in X$, potom každá její podposloupnost konverguje k $y$, tudíž musí být $y\in Y$
    • definice: metrický prostor $(X,d)$ je omezený, jestliže pro nějaké $K$ platí $\forall x,y\in X:d(x,y)\lt K$
    • tvrzení: každý kompaktní prostor je omezený
      • posloupnost $(x_n)_n$, kde $d(x_0,x_n)\gt n$, nemá žádnou omezenou podposloupnost, tedy nemá konvergentní podposloupnost (neboť ta je vždy omezená), což je spor
    • věta: součin konečně mnoha kompaktních prostorů je kompaktní
    • důkaz – stačí pro součin dvou prostorů
      • mějme posloupnost $((x_n,y_n))_n$ v $X\times Y$
      • zvolíme konvergentní podposloupnost $(x_{k_n})n$ posloupnosti $(x_n)n$ a konvergentní podposloupnost $(y{k{l_n}})n$ posloupnosti $(y{k_n})$
      • pak je posloupnost $((x_{k_{l_n}},y_{k_{l_n}}))_n$ zjevně konvergentní podposloupností původní posloupnosti
  • Věta: Kompaktní podprostory $\mathbb E_n$
    • věta: podprostor euklidovského prostoru $\mathbb E_n$ je kompaktní, právě když je omezený a uzavřený
    • důkaz
      • již jsme dokázali, že kompaktnost implikuje uzavřenost a omezenost
      • mějme $Y\subseteq\mathbb E_n$ omezený a uzavřený
      • z omezenosti vyplývá, že pro dostatečně velký součin (uzavřených) intervalů $J$ platí $Y\subseteq J\subseteq\mathbb E_n$
        • intervaly jsou kompaktní, jejich součin je taky kompaktní (viz věta výše)
      • $Y$ je uzavřený v $\mathbb E_n$, tedy je uzavřený i v $J$
  • Věta: Obraz kompaktního prostoru
    • tvrzení: buď $f:(X,d)\to(Y,d')$ spojité zobrazení a buď $A\subseteq X$ kompaktní, potom je $f[A]$ kompaktní
    • důkaz
      • buď $(y_n)_n$ posloupnost v $f[A]$
      • zvolme $x_n\in A$, aby $y_n=f(x_n)$
      • posloupnost $(x_n)n$ má konvergentní podposloupnost $(x{k_n})_n$
      • $(y_{k_n})n=(f(x{k_n}))_n$ je konvergentní podposloupnost posloupnosti $(y_n)_n$
  • Věta: Maxima a minima spojitých funkcí na kompaktních podmnožinách
    • tvrzení: buď $(X,d)$ kompaktní, potom každá spojitá funkce $f:(X,d)\to\mathbb R$ nabývá maxima i minima
    • důkaz
      • podprostor $Y=f[X]\subseteq\mathbb R$ je kompaktní
      • $Y$ je tedy omezená množina a musí mít supremum $a$ a infimum $b$
      • zřejmě $d(a,Y)=d(b,Y)=0$
      • $Y$ je uzavřená, proto $a,b\in Y$
  • Věta: Stejnoměrná spojitost v kompaktním kontextu
    • věta: buď $f:X\to Y$ spojité zobrazení, $X$ kompaktní, potom $f$ je stejnoměrně spojité
    • důkaz – obměnou (zobrazení není stejnoměrně spojité, pak není spojité)
      • uvažujme epsilon takové, že pro každé delta existuje dvojice $x,y$ takové, že jsou si blíž než delta, ale $d(f(x),f(y))\geq\varepsilon$
      • z dvojicí sestavíme posloupnosti $(x_n)_n$ a $(y_n)_n$ – obě mají konvergentní podposloupnosti, ty volíme tak, aby si odpovídaly (jako v důkazu kompaktnosti součinu), mají stejnou limitu
      • limity funkčních hodnot se zjevně nerovnají (to je negace tvrzení ekvivalentnímu spojitosti zobrazení)
    • tvrzení: je-li $(X,d)$ kompaktní a je-li $f:(X,d)\to(Y,d')$ vzájemně jednoznačné spojité zobrazení, je to homeomorfismus
  • Věta: Cauchyovské posloupnosti a konvergence
    • definice: posloupnost $(x_n)_n$ v metrickém prostoru $(X,d)$ je Cauchyovská, jestliže $(\forall\varepsilon\gt 0)(\exists n_0):m,n\geq n_0\implies d(x_m,x_n)\lt\varepsilon$
    • pozorování: každá konvergentní posloupnost je Cauchyovská
    • tvrzení: má-li Cauchyovská posloupnost konvergentní podposloupnost, potom konverguje (k limitě té posloupnosti)
    • důkaz
      • nechť $(x_n)n$ je Cauchyovská a nechť $x$ je limita její konvergentní podposloupnosti $(x{k_n})_n$
      • od nějakého $n_1$ platí $d(x_m,x_n)\lt\varepsilon$
      • od nějakého $n_2$ platí $d(x_{k_n},x)\lt\varepsilon$
      • jako $n_0$ vezmeme to větší z nich, od něj pak platí $d(x_n,x)\leq d(x_n,x_{k_n})+d(x_{k_n},x)\lt 2\varepsilon$
  • Definice: Úplný prostor, kompaktnost implikuje úplnost
    • definice: metrický prostor $(X,d)$ je úplný, jestliže v něm každá Cauchyovská posloupnost $(X,d)$ konverguje
    • tvrzení: podprostor úplného prostoru je úplný, právě když je uzavřený
    • tvrzení: každý kompaktní prostor je úplný
      • Cauchyovská posloupnost má z kompaktnosti konvergentní podposloupnost, a tedy konverguje (podle tvrzení výše)
    • věta: součin úplných prostorů je úplný; speciálně, $\mathbb E_n$ je úplný
    • důsledek: podprostor $Y$ euklidovského prostoru $\mathbb E_n$ je úplný, právě když je tam uzavřený

Reálné funkce více proměnných

  • Příklad: Proč se nemůžeme omezit na spojitost v jednotlivých proměnných
    • mějme funkci $f(x,y)=\begin{cases}\frac{(x-y)^2}{x^2+y^2}&\text{pro }(x,y)\neq(0,0)\ 1&\text{pro }(x,y)=(0,0)\end{cases}$
    • pokud bychom $y$ vzali jako parametr a sledovali spojitost podle $x$, funkce by byla spojitá – podobně pro $x$ jako parametr
    • ale $f(x,x)$ se vždy rovná 0, kdežto $f(0,0)=1$
    • nezajímá nás spojitost v jednotlivých proměnných – to jsou jen některé „procházky“ po hodnotách funkce, nás zajímají všechny takové „cesty“
  • Definice: Reálné funkce a jejich definiční obory (vhodné podprostory $\mathbb E_n$)
    • definice: reálná funkce v $n$ proměnných … $f:D\to\mathbb R,;D\subseteq\mathbb E_n$
    • definiční obory jsou často poměrně složité množiny

Parciální derivace

  • Definice: Parciální derivace a jejich slabost (ani spojitost není implikována)
    • vezměme $\phi_k(t)=f(x_1,\dots,x_{k-1},t,x_{k+1},\dots,x_n)$
    • parciální derivace funkce $f$ podle $x_k$ (v bodě $(x_1,\dots,x_{k-1},t,x_{k+1},\dots,x_n)$) je derivace funkce $\phi_k$ (v bodě $t$)
    • tzn. $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,\dots,x_{k-1},x_k+h,x_{k+1},\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_n)}{h}$
    • značíme $\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}$ nebo $\frac{\partial f}{\partial x_k}(x_1,\dots,x_n)$
    • když $\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}$ existuje pro všechna $(x_1,\dots,x_n)$ v nějaké oblasti $D$, máme funkci $\frac{\partial f}{\partial x_k}:D\to\mathbb R$
    • parciální derivace tedy může být číslo (hodnota limity výše) nebo tato funkce
    • parciální derivace geometricky odpovídá tečně funkce v daném bodě rovnoběžné s příslušnou osou
    • existence parciálních derivací neimplikuje spojitost (viz protipříklad na spojitost v jednotlivých proměnných)
  • Definice: Totální diferenciál, geometrická interpretace (lineární aproximace)
    • v případě jedné proměnné existence totálního diferenciálu a derivace je totéž
    • tvrzení ekvivalentní s existencí standardní derivace
      • existuje $\mu$ konvergující k 0 při $h\to 0$ a $A$ takové, že $f(x+h)-f(x)=Ah+|h|\cdot\mu(h)$
    • geometrický pohled: $f(x+h)-f(x)=Ah$ vyjadřuje tečnu ke grafu funkce v bodě $(x,f(x))$
    • aproximační pohled: $|h|\cdot\mu(h)$ je jakási malá chyba při aproximaci funkce $f$ v okolí bodu $x$ jako lineární funkce v $h$
    • parciální derivace vyjadřují směry dvou tečných přímek – my chceme tečnou rovinu (tu dostaneme z totálního diferenciálu)
    • pro $x\in\mathbb E_n$ definujme $\lVert x\rVert=\max_i|x_i|$
    • funkce $f$ má totální diferenciál v bodě $a$, existuje-li funkce $\mu$ spojitá v okolí $U$ bodu $o$ taková, že $\mu(o)=0$, a čísla $A_1,\dots,A_n$, pro která $f(a+h)-f(a)=\sum_{k=1}^nA_kh_k+\lVert h\rVert\mu(h)$
      • pomocí skalárního součinu také $f(a+h)-f(a)=\braket{A|h}+\lVert h\rVert\mu(h)$
    • tvrzení: nechť má funkce $f$ totální diferenciál v bodě $a$, potom je spojitá v $a$ a má všechny parciální derivace v $a$ s hodnotami $\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}=A_k$
    • důkaz spojitosti
      • chceme $\lim_{x\to y} f(x)=f(y)$, tedy $\lim_{x\to y} f(x)-f(y)=0$
      • dosadíme do rovnice totálního diferenciálu (a+h … x, a … y)
      • $|f(x)-f(y)|\leq|A(x-y)|+|\mu(x-y)|\cdot\lVert x-y\rVert$
      • limita $|A(x-y)|+|\mu(x-y)|\cdot\lVert x-y\rVert$ pro $x\to y$ je rovna nule
    • důkaz hodnot parciálních derivací
      • z rovnice totálního diferenciálu máme $\frac{f(x_1,\dots,x_{k-1},x_k+h,x_{k+1},\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_n)}{h}=A_k+\frac{\lVert(0,\dots,h,\dots,0)\rVert\cdot\mu((0,\dots,h,\dots,0))}{h}$
      • limita pravé strany je zjevně $A_k$
  • Věta: Spojité parciální derivace a totální diferenciál
    • věta: nechť má $f$ spojité parciální derivace v okolí bodu $a$, potom má v bodě $a$ totální diferenciál
    • důkaz
      • položme $h^{(0)}=h,;h^{(1)}=(0,h_2,\dots,h_n),;h^{(2)}=(0,0,h_3,\dots,h_n),;\dots,;h^{(n)}=o$
      • máme $f(a+h)-f(a)=\sum_{k=1}^n(f(a+h^{(k-1)})-f(a+h^{(k)}))=M$
        • v té sumě se většina členů odečte, proto se to rovná výrazu nalevo
      • podle Lagrangeovy věty (v jedné proměnné) existují $0\leq\theta_k\leq 1$ takové, že $f(a+h^{(k-1)})-f(a+h^{(k)})=\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}\cdot h_k$
      • tedy $M=\sum\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}h_k=$
      • $=\sum\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}h_k+\sum\left(\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}-\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\right)h_k=$
      • $=\sum\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}h_k+\lVert h\rVert\sum\left(\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}-\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\right){h_k\over\lVert h\rVert}$
      • položme $\mu(h)=\sum\left(\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}-\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\right){h_k\over\lVert h\rVert}$
      • jelikož $\left|\frac{h_k}{\lVert h\rVert}\right|\leq 1$ a jelikož jsou funkce $\frac{\partial f}{\partial x_k}$ spojité, $\lim_{h\to o}\mu(h)=0$
    • máme tedy implikace: spojité parciální derivace $\implies$ totální diferenciál $\implies$ parciální derivace
  • Příklad: Výpočet parciálních derivací – aritmetická pravidla
    • jsou stejná jako pro obyčejné derivace
    • pravidlo pro skládání se liší (viz věta níže)
    • aritmetická pravidla lze odvodit z řetězového
      • odvodíme pravidlo pro násobení
      • $f(u,v)=u\cdot v$
      • potom ${\partial f\over\partial u}=v,;{\partial f\over\partial v}=u$
      • uvažujme $u=\phi(x),;v=\psi(x)$
      • pak $(\phi(x)\cdot\psi(x))'={\partial f\over\partial u}\phi'(x)+{\partial f\over\partial v}\psi'(x)=\psi(x)\phi'(x)+\phi(x)\psi'(x)$
  • Věta: Složená zobrazení a řetězové pravidlo
    • věta
      • nechť má $f(x)$ totální diferenciál v bodě $a$
      • pro $k=1,\dots,n$
        • nechť mají $g_k(t)$ derivace v bodě $b$
        • nechť je $g_k(b)=a_k$
      • položme $F(t)=f(g(t))=f(g_1(t),\dots,g_n(t))$
      • potom má $F$ derivaci v $b$, totiž $F'(b)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\cdot g'_k(b)$
    • důkaz
      • $\frac1h(F(b+h)-F(b))=\frac1h(f(g(b+h))-f(g(b)))=$
      • $=\frac1h\biggl(f\Bigl(g(b)+(g(b+h)-g(b))\Bigl)-f(g(b))\biggr)=$
        • do rovnice totálního diferenciálu dosazujeme: x … g(b), h … (g(b+h)-g(b))
      • $=\sum_{k=1}^n A_k\frac{g_k(b+h)-g_k(b)}h+\mu(g(b+h)-g(b))\cdot\max_k\frac{|g_k(b+h)-g_k(b)|}h$
      • ze spojitosti funkcí $g_k$ v $b$ vyplývá $\lim_{h\to 0}\mu(g(b+h)-g(b))=0$
      • z toho, že $g_k$ mají derivace, vyplývá, že $\max_k\dots$ je omezené v dostatečně malém okolí nuly
      • limita posledního sčítance je tedy nula
      • $F'(b)=\lim_{h\to 0}\frac1h(F(b+h)-F(b))=\lim_{h\to0}\sum_{k=1}^nA_k\frac{g_k(b+h)-g_k(b)}h=$
      • $=\sum A_k\lim\frac{g_k(b+h)-g_k(b)}h=\sum\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\cdot g'_k(b)$
        • tady vycházíme z tvrzení o hodnotách parciálních derivací
    • důsledek – řetězové pravidlo
      • nechť má $f(x)$ totální diferenciál v bodě $a$
      • pro $k=1,\dots,n$
        • nechť mají funkce $g_k(t_1,\dots,t_r)$ parciální derivace v $b=(b_1,\dots,b_r)$
        • nechť je $g_k(b)=a_k$
      • potom má funkce $(f\circ g)(t_1,\dots,t_r)=f(g(t))=f(g_1(t),\dots,g_n(t))$ všechny parciální derivace v $b$ a platí $\frac{\partial(f\circ g)(b)}{\partial t_j}=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\cdot\frac{\partial g_k(b)}{\partial t_j}$
  • Věta: Lagrangeova formule
    • definice: podmnožina $U\subseteq\mathbb E_n$ je konvexní, jestliže $x,y\in U\implies(\forall t,,0\leq t\leq 1)\bigl((1-t)x+ty=x+t(y-x)\in U\bigr)$
      • tzn. úsečka mezi libovolnými dvěma body $x,y\in U$ bude celá v $U$
    • Lagrangeova věta v jedné proměnné: nechť $f$ je spojitá na intervalu $[a,b]$ a má na $(a,b)$ derivaci, pak existuje bod $c\in(a,b)$ takový, že platí $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
    • Lagrangeova věta ve více proměnných
      • nechť má $f$ spojité parciální derivace v konvexní otevřené množině $U\subseteq\mathbb E_n$
      • potom pro libovolné dva vrcholy $x,y\in D$ existuje $\theta,,0\leq\theta\leq 1,$ takové, že $f(y)-f(x)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f(x+\theta(y-x))}{\partial x_j}(y_j-x_j)$
      • nebo ekvivalentně $f(y)-f(x)=\nabla f(c)(y-x)$, kde $c=x+\theta(y-x)$
      • alternativní tvar (kde $y=x+h$): $f(x+h)-f(x)=\sum\frac{\partial f(x+\theta h)}{\partial x_j}h_j$
    • důkaz
      • položme
        • $F(t)=f(x+t(y-x))$
        • $g_j(t)=x_j+t(y_j-x_j)$
      • potom $F(t)=(f\circ g)(t)=f(x+t(y-x))$
      • tudíž $F'(t)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f(g(t))}{\partial x_j}g'j(t)=\sum{j=1}^n\frac{\partial f(g(t))}{\partial x_j}(y_j-x_j)$
      • podle klasické Lagrangeovy věty $\exists\theta:0\leq\theta\leq 1$ a díky tomu, že $f(x)=F(0)$ a $f(y)=F(1)$, dostáváme $f(y)-f(x)=F(1)-F(0)=F'(\theta)(1-0)=F'(\theta)$
  • Definice: Parciální derivace vyšších řádů
    • když derivujeme parciální derivaci (prvního řádu), dostaneme parciální derivaci druhého řádu (apod.)
    • $\frac{\partial^3f(x,y,z)}{\partial x\partial y\partial z}$ a $\frac{\partial^3f(x,y,z)}{\partial x\partial x\partial x}$ jsou parciální derivace třetího řádu
  • Věta: Záměnnost u parciálních derivací vyšších řádů
    • tvrzení
      • buď $f(x,y)$ funkce taková, že parciální derivace $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ a $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$ jsou definovány a jsou spojité v nějakém okolí bodu $(x,y)$
      • potom máme $\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y\partial x}$
    • důkaz
      • uvažujme funkci $F(h)=\frac{f(x+h,y+h)-f(x,y+h)-f(x+h,y)+f(x,y)}{h^2}$
      • položíme
        • $\varphi_h(y)=f(x+h,y)-f(x,y)$
        • $\psi_h(x)=f(x,y+h)-f(x,y)$
      • pak dostaneme pro $F(h)$ dva výrazy
        • $F(h)=\frac1{h^2}(\varphi_h(y+h)-\varphi_h(y))$
        • $F(h)=\frac1{h^2}(\psi_h(x+h)-\psi_h(x))$
      • $\varphi_h$ má derivaci $\varphi'_h(y)=\frac{\partial f(x+h,y)}{\partial y}-\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$
      • $F(h)={1\over h^2}(\varphi_h(y+h)-\varphi_h(y))=\frac1h \varphi_h'(y+\theta_1h)$
        • podle Lagrangeovy věty (viz alternativní tvar)
      • tedy $F(h)=\frac1h\left(\frac{\partial f(x+h,y+\theta_1h)}{\partial y}-\frac{\partial f(x,y+\theta_1h)}{\partial y}\right)$
      • znova použijeme Lagrangeovu větu a dostaneme $F(h)=\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial f(x+\theta_2h,y+\theta_1h)}{\partial y}\right)$
        • kde $\theta_1,\theta_2$ jsou mezi 0 a 1
      • podobně z vyjádření $F(h)$ pomocí $\psi_h$ dostaneme $F(h)=\frac\partial{\partial y}\left(\frac{\partial f(x+\theta_4h,y+\theta_3h)}{\partial x}\right)$
      • $\lim_{h\to 0}F(h)=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y\partial x}$
    • iterováním výměn z tohoto tvrzení dostaneme následující důsledek:
      • nechť má funkce $f$ v $n$ proměnných spojité parciální derivace do řádu $k$
      • potom hodnoty těchto derivací záleží jen na tom, kolikrát bylo derivováno v každé z individuálních proměnných $x_1,\dots,x_n$

Věty o implicitních funkcích

  • Příklad: Úloha implicitních funkcí, porozumění problému
    • jsou dány spojité reálné funkce $F_i(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)$ v $m+n$ proměnných pro $i=1,\dots,n$
    • pokoušíme se řešit soustavu $n$ rovnic $F_i(\dots)=0$ v $n$ neznámých $y_i$
    • parametry $x_i$ se stanou proměnnými, takže očekáváme řešení jako funkce $f_i\equiv y_i(x_1,\dots,x_m)$
    • kde mohou být potíže? uvažujme $x^2+y^2=1$
      • pro $x_0\lt -1$ řešení $F(x_0,y)=0$ vůbec neexistuje
      • abychom mohli mluvit o funkci, potřebujeme „okénko“ kolem řešení $(x_0,y_0)$ vymezující kromě okolí $x_0$ i $y_0$
      • pro $x_0=1$ nelze nalézt okénko, kde by $y$ bylo jednoznačné
    • v případě jedné rovnice $F(x,y)=0$ žádné jiné potíže nenastanou
  • Věta: Nejjednodušší případ $F(x, y) = 0$, role $\partial F\over\partial y$
    • věta
      • buď $F(x,y)$ reálná funkce ve 2 proměnných definovaná v nějakém okolí bodu $(x_0,y_0)$
      • nechť má $F$ spojité parciální derivace do řádu $k\geq 1$ a nechť je $F(x_0,y_0)=0$ a $\left|\frac{\partial F(x_0,y_0)}{\partial y}\right|\neq 0$
      • potom existují $\delta\gt 0$ a $\Delta\gt 0$ takové, že ke každému $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ existuje právě jedno $y\in (y_0-\Delta,y_0+\Delta)$ splňující $F(x,y)=0$
      • dále, označíme-li toto jediné $y$ jako $y=f(x)$, potom získaná $f:(x_0-\delta,x_0+\delta)\to\mathbb R$ má spojité derivace do řádu $k$
    • důkaz
      • buď třeba $\frac{\partial F(x_0,y_0)}{\partial y}\gt 0$
      • vzhledem ke spojitosti existují $\delta_1,\Delta\gt 0$ taková, že v obdélníku $\braket{x_0-\delta_1,x_0+\delta_1}\times \braket{y_0-\Delta,y_0+\Delta}$ je ${\partial F\over\partial y}(x,y)$ stále kladná
      • tento obdélník je kompaktní, tedy na něm spojité funkce nabývají extrémů a tudíž existují $a,K\gt 0$ taková, že $\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\gt a$ a $\left|\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}\right|\lt K$
      • zvlášť dokážeme existenci funkce $f$ a její vlastnosti
      • existence funkce $f$
        • pro pevné $x\in(x_0-\delta_1,x_0+\delta_1)$ definujme funkci $\varphi_x$ na $y\in (y_0-\Delta,y_0+\Delta)$ předpisem $\varphi_x(y)=F(x,y)$
        • tak jsme dostali funkci jedné proměnné
        • její derivace je kladná
          • protože $\varphi'_x(y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\gt 0$
          • takže $\varphi_x$ na intervalu roste
          • proto $\varphi_{x_0}(y_0-\Delta)\lt \varphi_{x_0}(y_0)\lt\varphi_{x_0}(y_0+\Delta)$
        • z $F(x_0,y_0)$ víme, že $\varphi_{x_0}(y_0)=0$
          • tedy $\varphi_{x_0}(y_0-\Delta)\lt 0\lt\varphi_{x_0}(y_0+\Delta)$
        • funkce dvou proměnných $F$ je spojitá, a tedy pro nějaké $\delta,;0\lt\delta\leq\delta_1$:
          • $\forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta):\varphi_x(y_0-\Delta)\lt 0\lt\varphi_x(y_0+\Delta)$
        • funkce $\varphi_x$ roste, tudíž je prostá, takže existuje právě jedno $y\in(y_0-\Delta,y_0+\Delta)$ takové, že $\varphi_x(y)=0$ (tj. $F(x,y)=0$)
        • označme toto $y$ jako $f(x)$
      • vlastnosti funkce $f$
        • $0=F(x+h,f(x+h))-F(x,f(x))=$
          • protože $\forall t:F(t,f(t))=0$
        • $=F(x+h,f(x)+(f(x+h)-f(x)))-F(x,f(x))=$
          • použijeme Lagrangeovu větu pro $h=(h,f(x+h)-f(x))$
        • $=\frac{\partial F}{\partial x}(x+\theta h,f(x)+\theta(f(x+h)-f(x)))\cdot h;+$
        • $+;\frac{\partial F}{\partial y}(x+\theta h,f(x)+\theta(f(x+h)-f(x)))\cdot (f(x+h)-f(x))$
        • upravíme na $f(x+h)-f(x)=-h\cdot\frac{\partial F(\dots)\over \partial x}{\partial F(\dots)\over\partial y}$
        • podle odvozených vlastností platí $|f(x+h)-f(x)|\lt|h|\cdot\frac Ka$
          • $f$ je tedy spojitá v bodě $x$
        • dále zjevně $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=-\frac{{\partial F\over \partial x}(x,f(x))}{{\partial F\over\partial y}(x,f(x))}$
        • tudíž $f'(t)=-\frac{{\partial F\over \partial x}(t,f(t))}{{\partial F\over\partial y}(t,f(t))}$
        • tuto formuli můžeme derivovat tak dlouho, jak to existence parciálních derivací na pravé straně dovolí
    • stejnou úvahou se ukáže věta pro funkci v $m+1$ proměnných
  • Příklad: Substituční metoda aspoň pro dvě rovnice
    • uvažujme dvojici rovnic ($x$ může být vektor)
      • $F_1(x,y_1,y_2)=0$
      • $F_2(x,y_1,y_2)=0$
    • hledáme dvě řešení v okolí bodu $(x^0,y_1^0,y_2^0)$
    • na druhou rovnici aplikujeme větu o jedné rovnici pro $y_2$, dostaneme $y_2$ jako funkci $\psi(x,y_1)$
    • substituujeme do první rovnice, dostaneme $G(x,y_1)=F_1(x,y_1,\psi(x,y_1))=0$
    • řešení $y_1=f_1(x)$ v nějakém okolí bodu $(x^0,y_1^0)$ může být substituováno do $\psi$ a získáme $y_1=f_2(x)=\psi(x,f_1(x))$
    • co jsme všechno předpokládali
      • spojité parciální derivace funkcí $F_i$
      • ${\partial F_2\over\partial y_2}(x^0,y_1^0,y_2^0)\neq 0$, abychom získali $\psi$
      • ${\partial G\over\partial y_1}(x^0,y_1^0)={\partial F_1\over\partial y_1}+{\partial F_1\over\partial y_2}{\partial \psi\over\partial y_1}\neq 0$
        • to vyplývá z řetízkového pravidla
        • pomocí formule $f'(t)=-\frac{{\partial F\over \partial x}(t,f(t))}{{\partial F\over\partial y}(t,f(t))}$ dostaneme z této rovnice nakonec vzorec pro determinant – konkrétně pro Jacobián, který má být nenulový
        • to stačí – druhý předpoklad vyplývá z nenulovosti Jacobiánu
  • Definice: Jacobián a jeho role
    • pro konečnou posloupnost funkcí $F_1(x,y),\dots,F_m(x,y)$ a pro $y=(y_1,\dots,y_m)$ se definuje Jacobiho determinant (Jacobián) $\frac{D(F)}{D(y)}=\det{\left(\frac{\partial F_i}{\partial y_j}\right)}_{i,j=1,\dots,m}$
      • řádky odpovídají funkcím $F_i$, sloupce proměnným $y_j$
    • u implicitních funkcí budeme požadovat nenulovost Jacobiánu
    • geometrický význam: Jacobián určuje, jak vektorová funkce při transformaci oblasti na natahuje nebo stlačuje objemy malých kousků oblasti okolo v poměru (absolutní hodnoty) Jacobiánu
  • Věta: Obecná věta, porozumění tomu, co se děje
    • věta
      • buďte $F_i(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m),;i=1,\dots,m,$ funkce $n+m$ proměnných se spojitými parciálními derivacemi do řádu $k\geq 1$
      • buď $F(x^0,y^0)=o$ a $\frac{D(F)}{D(y)}(x^0,y^0)\neq 0$
      • potom existují $\delta\gt 0$ a $\Delta\gt 0$ takové, že pro každé $x\in (x^0_1-\delta,x_1^0+\delta)\times\dots\times(x_n^0-\delta,x_n^0+\delta)$ existuje právě jedno $y\in (y_1^0-\Delta,y_1^0+\Delta)\times\dots\times(y_m^0-\Delta,y_m^0+\Delta)$ takové, že $F(x,y)=o$
      • píšeme-li toto $y$ jako vektorovou funkci $f(x)=(f_1(x),\dots,f_m(x))$, mají $f_i$ spojité parciální derivace do řádu $k$
    • důkaz: v podstatě stačí kroky výše – ukázali jsme, jak pomocí substituce přejít od úlohy s $n+1$ rovnicemi k úloze s $n$ rovnicemi a jak se při tom podmínka o Jacobiánu v dimenzi $n+1$ přemění na podmínku o Jacobiánu v dimenzi $n$ (pak už je třeba jenom diskutovat, jak vhodně nahradit rozměry oken, tedy $\delta,\Delta$)
  • Věta: Aplikace – lokální extrémy, věta o vázaných extrémech, jak se používá
    • uvažujeme body, v nichž jsou všechny parciální derivace nulové, a body na okraji zkoumané oblasti (ale těch je nekonečně mnoho)
    • když hledáme extrémy funkce $f(x_1,\dots,x_n)$, okraj oblasti vyjádříme podmínkami $g_i(x_1,\dots,x_n)$ pro $i=1,\dots,k$
      • pak hledáme extrémy na množině určené podmínkami – tedy jde o vázané extrémy
    • věta
      • buďte $f,g_1,\dots,g_k$ reálné funkce definované na otevřené množině $D\subseteq\mathbb E_n$
      • nechť mají spojité parciální derivace
      • nechť je hodnost matice $M$ maximální, tedy $k$, v každém bodě oboru $D$
        • kde $M_{ij}=\frac{\partial g_i}{\partial x_j}$ (tedy řádky odpovídají funkcím $g_i$, sloupce proměnným $x_j$)
      • jestliže funkce $f$ nabývá v bodě $a$ lokálního extrému podmíněného vazbami $g_i(x_1,\dots,x_n)=0$ pro $i=1,\dots,k$, pak existují čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ taková, že pro každé $i=1,\dots,n$ platí $\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\cdot\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=0$
    • důkaz
      • z lineární algebry víme, že matice $M$ má hodnost $\geq k$, právě když aspoň jedna její $k\times k$ podmatice je regulární (má nenulový determinant)
      • $M$ má $k$ řádků a $n$ sloupců, kde $n$ bude typicky (možná vždy?) větší než $k$
      • v matici $M$ máme tedy čtvercovou matici nalevo regulární, tedy její determinant je nenulový
        • pro jednoduchost uvažujeme přečíslování souřadnic, aby to vyšlo hezky na první až $k$-tý sloupec matice
      • soustava rovnic $\forall i:g_i(x)=0$ pro neznámé funkce $x_1,\dots,x_k$, v níž parametry $x_{k+1},\dots,x_n$ budou proměnnými, tedy splňuje předpoklady věty o implicitních funkcích a v okolí bodu $a$ dává funkce $\phi_i(x_{k+1},\dots,x_n)$ se spojitými parciálními derivacemi takové, že $\forall g_i(\phi_1(\tilde x),\dots,\phi_k(\tilde x),\tilde x)=0$, kde $\tilde x=(x_{k+1},\dots,x_n)$
      • tedy lokální extrém funkce $f(x)$ v $a$ podmíněný danými vazbami se mění na lokální extrém (nepodmíněné) funkce $F(\tilde x)=f(\phi_1(\tilde x),\dots,\phi_k(\tilde x), \tilde x)$ v $\tilde a$
      • musí tedy platit ${\partial F\over\partial x_i}(\tilde a)=0$ pro $i=k+1,\dots,n$
      • (1) tj. podle řetízkového pravidla $\sum_{r=1}^k\frac{\partial f(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}+\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}=0$ pro $i=k+1,\dots,n$
      • (2) po derivaci konstantní $g_i(\phi_1(\tilde x),\dots,\phi_k(\tilde x),\tilde x)=0$ dostaneme pro $j=1,\dots,k:$ $\sum_{r=1}^k\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}+\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=0$ pro $i=k+1,\dots,n$
        • poznámka: tenhle krok nenavazuje na ten předchozí
      • užijeme znovu nenulový determinant – následující systém lineárních rovnic má nutně jediné řešení $\lambda_1,\dots,\lambda_k$:
        • $\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\cdot\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=0$ pro $i=1,\dots,k$
      • takhle jsme použili pouze prvních $k$ z $n$ rovnic, teď ještě musíme dokázat, že takto určená $\lambda_i$ vyhovují i ostatním $n-k$ rovnicím
        • použijeme (1) a (2), první rovnost je oba kombinuje, navíc (2) sčítá přes všechna $j$
        • uvažujeme $i\gt k$
      • $\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=-\sum_{r=1}^k\frac{\partial f(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}-\sum_{j=1}^k\lambda_j\sum_{r=1}^k\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}=$
      • $=-\sum_{r=1}^k\left(\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\cdot \frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}\right)\frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}=-\sum_{r=1}^n0\cdot\frac{\partial\phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}=0$
        • výraz v závorce odpovídá soustavě rovnic (viz výše) – proto je nulový
    • poznámky
      • čísla $\lambda_i$ jsou známa jako Lagrangeovy multiplikátory
      • síla tvrzení je v tom, že zaručuje existenci čísel $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ splňujících více než $k$ rovnic
  • Věta: Aplikace – regulární zobrazení
    • definice
      • buď $U\subseteq\mathbb E_n$ otevřená a nechť mají funkce $f_i:U\to \mathbb E_n$ (pro $i=1,\dots,n$) spojité parciální derivace
      • řekneme, že výsledné zobrazení $f=(f_1,\dots,f_n):U\to\mathbb E_n$ je regulární, jestliže je Jacobián $\frac{D(f)}{D(x)}(x)\neq 0$ pro všechny body $x\in U$
    • tvrzení: je-li $U\to\mathbb E_n$ regulární, je obraz $f[V]$ každé otevřené podmnožiny $V\subseteq U$ otevřený
    • důkaz
      • vezměme $f(x^0)=y^0$
      • definujme $F:V\times\mathbb E_n\to\mathbb E_n$ předpisem $F_i(x,y)=f_i(x)-y_i$
      • potom je $F(x^0,y^0)=0$ a $\frac{D(F)}{D(x)}\neq 0$
      • tudíž je možné použít větu o implicitních funkcích
      • dostaneme $\delta,\Delta\gt 0$ taková, že pro každé $y:\lVert y-y^0\rVert\lt\delta$ existuje $x:\lVert x-x^0\rVert\lt\Delta$ a $F_i(x,y)=f_i(x)-y_i=0$
      • tzn. máme $f(x)=y$ (pozor, $y_i$ jsou proměnné, $x_j$ hledané funkce)
      • zároveň $\Omega(y^0,\delta)=\set{y\mid\lVert y-y^0\rVert\lt\delta}\subseteq f[V]$
    • tvrzení
      • buď $f:U\to\mathbb E_n$ regulární
      • potom pro každé $x^0\in U$ existuje otevřené okolí $V$ takové, že restrikce $f|V$ je prosté zobrazení
      • navíc platí, že zobrazení $g:f[V]\to\mathbb E_n$ k $f|V$ inverzní je regulární
    • důkaz
      • vezměme $f(x^0)=y^0$
      • znovu použijeme zobrazení $F$, kde $F_i(x,y)=f_i(x)-y_i$
      • řešíme úlohu $F_i(x,y)=0$ s proměnnými $y_1,\dots,y_n$ a neznámými funkcemi $x_i=g_i(y_1,\dots,y_n)$
      • pro dost malé $\Delta\gt 0$ máme jedno $x=g(y)$ takové, že $F(x,y)=0$ a $\lVert x-x^0\rVert\lt\Delta$
      • toto $g$ má navíc spojité parciální derivace
      • $\partial f\cdot\partial g=\partial(f\circ g)=\partial (id)=\mathbb E$
      • tedy ${D(f)\over D(x)}\cdot{D(g)\over D(y)}=1$
      • $\frac{D(g)}{D(y)}$ proto musí být nenulový
    • důsledek: prosté regulární zobrazení $f:U\to V=f[U]\subseteq\mathbb E_n$ má regulární inverzní zobrazení $g:f[U]\to\mathbb E_n$

Riemannův integrál v jedné proměnné

  • Definice: Opakování, geometrická interpretace, obsahy atd.
    • některým podmnožinám $A\subseteq\mathbb E_n$ umíme přiřadit objem $\text{vol}(A)$, přičemž požadujeme vlastnosti…
      • $\text{vol}(\emptyset)=0$
      • $A\subseteq B\implies\text{vol}(A)\leq\text{vol}(B)$
      • $\text{vol}(A\cup B)=\text{vol}(A)+\text{vol}(B)-\text{vol}(A\cap B)$
      • objem je zachován isometrií
      • objem cihly $\braket{a_1,b_1}\times\dots\times\braket{a_n,b_n}$ v $\mathbb E_n$ je $(\prod_i\braket{a_i,b_i})=(b_1-a_1)\cdot\ldots\cdot(b_n-a_n)$
    • když má nějaká cihla degenerovanou hranu ($a_i=b_i$ pro některé $i$), pak je její objem nulový
    • objem útvarů složených z cihel, jimž se protínají jen povrchy, je stejný, jako by cihly byly disjunktní
  • Definice: Rozdělení intervalu
    • rozdělení intervalu $\braket{a,b}$ je posloupnost $P:a=t_0\lt t_1\lt\dots\lt t_{n-1}\lt t_n=b$
    • zjemnění $P$ je rozdělení $P':a=t'_0\lt t'1\lt\dots\lt t'{m-1}\lt t'_m=b$ takové, že $\set{t_j\mid j=1,\dots,n-1}\subseteq\set{t'_j\mid j=1,\dots,m-1}$
    • jemnost rozdělení je $\mu(P)=\max_j(t_j-t_{j-1})$
    • rozdělení intervalů je vhodnější než jako posloupnost bodů vnímat rozdělení intervalu na menší intervaly
    • pro omezenou funkci $f:J=\braket{a,b}\to\mathbb R$ a rozdělení $P$ definujeme
      • dolní součet $s(f,P)=\sum_{j=1}^nm_j(t_j-t_{j-1})$
        • kde $m_j=\inf\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}$
      • horní součet $S(f,P)=\sum_{j=1}^n M_j(t_j-t_{j-1})$
        • kde $M_j=\sup\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}$
    • když $P'$ zjemňuje $P$, dostáváme $s(f,P)\leq s(f,P')$ a $S(f,P)\geq S(f,P')$
    • pro každá dvě $P_1,P_2$ platí $s(f,P_1)\leq S(f,P_2)$
    • dolní Riemannův integrál: $\underline\int_a^b f(x)dx=\sup\set{s(f,P)\mid P\text{ rozd\v{e}lení}}$
    • horní Riemannův integrál: $\overline\int_a^b f(x)dx=\inf\set{S(f,P)\mid P\text{ rozd\v{e}lení}}$
    • je-li $\underline\int_a^b f(x)dx=\overline\int_a^b f(x)dx$, pak společnou hodnotu označujeme $\int_a^b f(x)dx$
      • Riemannův integrál funkce $f$ přes $\braket{a,b}$
  • Věta: Existence pro spojité funkce, role stejnoměrné spojitosti
    • tvrzení: Riemannův integrál $\int_a^b f(x)dx$ existuje, právě když pro každé $\varepsilon\gt 0$ existuje rozdělení $P$ takové, že $S(f,P)-s(f,P)\lt\varepsilon$
    • důkaz
      • $\implies$
        • nechť $\int_a^b f(x)dx$ existuje a $\varepsilon\gt 0$
        • potom existují rozdělení $P_1,P_2$ taková, že $S(f,P_1)\lt \int_a^b f(x)dx+\frac\varepsilon2$ a $s(f,P_2)\gt\int_a^b f(x)dx-\frac\varepsilon2$
        • potom pro společné zjemnění $P$ těch dvou platí $S(f,P)-s(f,P)\lt \int_a^b f(x)dx+\frac{\varepsilon}2-\left(\int_a^b f(x)dx - \frac\varepsilon2\right)=\varepsilon$
      • $\impliedby$
        • zvolme $\varepsilon\gt 0$ takové, že $S(f,P)-s(f,P)\lt\varepsilon$
        • potom $\overline\int_a^b f(x)dx\leq S(f,P)\leq s(f,P)+\varepsilon\leq \underline\int_a^b f(x)dx+\varepsilon$
        • $\varepsilon$ je libovolně malé, takže $\overline\int_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx$
    • věta: pro každou spojitou $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ Riemannův integrál $\int_a^b f$ existuje
    • důkaz
      • pro $\varepsilon\gt 0$ zvolme $\delta\gt 0$ tak, aby $|x-y|\lt\delta\implies|f(x)-f(y)|\lt\frac{\varepsilon}{b-a}$
      • je-li $\mu(P)\lt\delta$, máme $t_j-t_{j-1}\lt\delta$ pro všechna $j$
      • tedy pro všechna $j:$
        • $M_j-m_j=\sup\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}-\inf\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}\leq$
        • $\leq\sup\set{|f(x)-f(y)|\mid t_{j-1}\leq x,y\leq t_j}\leq\frac\varepsilon{b-a}$
      • tudíž $S(f,P)-s(f,P)=\sum (M_j-m_j)(t_j-t_{j-1})\leq\frac\varepsilon{b-a}\sum(t_j-t_{j-1})=$
      • $=\frac{\varepsilon}{b-a}(b-a)=\varepsilon$
    • ve více proměnných uvažujeme kompaktní interval, takže je funkce rovnou stejnoměrně spojitá (což potřebujeme)
  • Věta: Základní věta analýzy, Riemannův integrál a primitivní funkce
    • integrální věta o střední hodnotě: buď $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ spojitá, potom existuje $c\in\braket{a,b}$ takové, že $\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)$
    • důkaz
      • položme $m,M$ jako minimum a maximum z funkčních hodnot na intervalu
      • zjevně $m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leq M(b-a)$
      • tedy existuje $K$ takové, že $m\leq K\leq M$ a $\int_a^b f(x)dx=K(b-a)$
      • ze spojitosti $f$ vyplývá, že existuje $c\in\braket{a,b}$ takové, že $K=f(c)$
    • pozorování: pro $a\lt b\lt c:\int_a^b f+\int_b^cf=\int_a^c f$
    • základní věta analýzy
      • buď $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ spojitá
      • pro $x\in\braket{a,b}$ definujme $F(x)=\int_a^x f(t)dt$
      • potom je $F'(x)=f(x)$
    • důkaz
      • uvažujme $h\neq 0$
      • $\frac1h(F(x+h)-F(x))=\frac1h(\int_a^{x+h}f-\int_a^xf)=\frac 1h\int_x^{x+h} f=$
      • $=\frac 1h f(x+\theta h)h=f(x+\theta h)$
        • kde $0\lt\theta\lt 1$
      • ve druhé úpravě jsme použili pozorování, ve třetí integrální větu o střední hodnotě
      • $f$ je spojitá, proto $\lim_{h\to 0}\frac1h(F(x+h)-F(x))=\lim_{h\to 0} f(x+\theta h)=f(x)$
    • důsledek
      • buď $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ spojitá
      • potom má primitivní funkci na $(a,b)$ spojitou na $\braket{a,b}$
      • je-li $G$ primitivní funkce $f$ na $(a,b)$ spojitá na $\braket{a,b}$, potom je $\int_a^bf(t)dt=G(b)-G(a)$

Riemannův integrál ve více proměnných

  • Definice: Až do existence pro spojité funkce zcela analogické s jednou proměnnou
    • stačí pochopit podrozdělení jako rozklad na systém cihliček
    • cihla … kompaktní interval v $\mathbb E_n$, vypadá takto: $J=\braket{a_1,b_1}\times\dots\times\braket{a_n,b_n}$
    • rozdělení cihly $J$ je posloupnost, jejímiž prvky jsou rozdělení jednotlivých intervalů
    • tak jsou určeny menší intervaly, těm říkáme cihly rozdělení
    • množina všech cihel rozdělení $\mathcal B(P)$ je soustava tvořící rozklad intervalu $J$ na skoro disjunktní sjednocení
    • pozorování: $\text{vol}(J)=\sum\set{\text{vol}(B)\mid B\in\mathcal B(J)}$
    • diametr intervalu $J$ … $\text{diam}(J)=\max_i(b_i-a_i)$
    • jemnost rozdělení $P$ … $\mu(P)=\max\set{\text{diam}(B)\mid B\in\mathcal B(P)}$
    • zjemnění je pak dodefinováno pomocí zjemnění jednotlivých intervalů v posloupnosti
    • každá dvě rozdělení $P,Q$ $n$-rozměrného kompaktního intervalu $J$ mají společné zjemnění
    • Riemannův integrál funkce přes $J$ značíme $\int_Jf(x)dx$
    • většina vět je stejná jako v jedné proměnné
    • akorát nemáme protějšek základní věty analýzy, zejména pak její důsledek, že známe-li primitivní funkci $G$ funkce $f$, můžeme Riemannův integrál funkce $f$ počítat jako $\int_a^b f(t)dt=G(b)-G(a)$
    • místo toho budeme vícerozměrný Riemannův integrál počítat postupnými výpočty po jednotlivých souřadnicích (podle Fubiniovy věty)
  • Věta: Fubiniho věta, jak ji používáme
    • věta
      • vezměme součin $J=J'\times J''\subseteq \mathbb E_{m+n}$ intervalů $J'\subseteq\mathbb E_m,,J''\subseteq\mathbb E_n$
      • nechť $\int_Jf(x,y)dxy$ existuje
      • nechť pro každé $x\in J'$ existuje $\int_{J''}f(x,y)dy$
      • nechť pro každé $y\in J''$ existuje $\int_{J'}f(x,y)dx$
      • potom je $\int_J f(x,y)dxy=\int_{J'}(\int_{J''}f(x,y)dy)dx=\int_{J''}(\int_{J'}f(x,y)dx)dy$
    • důkaz
      • položme $F(x)=\int_{J''}f(x,y)dy$
      • dokážeme, že $\int_{J'}F$ existuje a že $\int_J f=\int_{J'}F$
      • zvolme rozdělení $P$ intervalu $J$ tak, aby $\int f-\varepsilon\leq s(f,P)\leq S(f,P)\leq\int f+\varepsilon$
      • toto $P$ je tvořeno rozděleními $P'$ intervalu $J'$ a $P''$ intervalu $J''$
      • máme $\mathcal B(P)=\set{B'\times B''\mid B'\in\mathcal B(P'),B''\in\mathcal B(P'')}$
      • každá cihla rozdělení $P$ se objeví jako právě jedno $B'\times B''$
      • potom je $F(x)\leq \sum_{B''\in \mathcal B(P'')}\max_{y\in B''} f(x,y)\cdot \text{vol}(B'')$
      • tudíž $S(F,P')\leq$
      • $\leq\sum_{B'\in\mathcal B(P')}\max_{x\in B'}\left(\sum_{B''\in \mathcal B(P'')}\max_{y\in B''} f(x,y)\cdot \text{vol}(B'')\right)\cdot\text{vol}(B')\leq$
      • $\leq\sum_{B'\in\mathcal B(P')}\sum_{B''\in\mathcal B(P'')}\max_{(x,y)\in B'\times B''}f(x,y)\cdot\text{vol}(B'')\cdot \text{vol}(B')\leq$
      • $\leq\sum_{B'\times B''\in\mathcal B(P)}\max_{z\in B'\times B''}f(z)\cdot \text{vol}(B'\times B'')=S(f,P)$
      • takhle jsme dokázali $S(f,P)\geq S(F,P')$
      • podobně lze dojít k $s(f,P)\leq s(F,P')$
      • máme tedy $\int_Jf-\varepsilon\leq s(F,P')\leq \int_{J'}F\leq S(F,P')\leq \int_J f+\varepsilon$
      • proto $\int_{J'}F=\int_Jf$
  • Definice: Poznámky o Lebesgueově integrálu
    • zejména praktická informace, že smíme počítat jako s Riemannovým integrálem plus pravidlo $\int\lim f_n=\lim\int f_n$ pro stejně omezené $f_n$
    • několik Lebesgueovských pravidel
      1. je-li $J$ $n$-dimenzionální interval a jestliže Riemannův integrál $\int_Jf$ existuje, potom Lebesgueův integrál je stejný
      2. jestliže $\int_{D_n}f$ existuje pro $n=1,2,\dots$, potom existuje též $\int_{\cup D_n}f$
      3. jestliže $\int_Df_n$ existuje a posloupnost $(f_n)_n$ je monotónní, potom je $\int_D\lim_nf_n=\lim_n\int_Df_n$
      4. jestliže $\int_Df_n$ existuje a $|f_n|\leq g$ pro nějakou $g$, pro kterou $\int_D g$ existuje a je konečný, potom $\int_D\lim_nf_n=\lim_n\int_Df_n$
      5. buď $U$ okolí bodu $t_0$ a buď $g$ taková, že $\int_Dg$ existuje a $\int_Df(t,x)dx$ existují a $|f(t,x)|\leq g(x)$ pro všechna $t\in U\setminus\set{t_0}$, potom je $\int_Df(t_0,x)dx=\lim_{t\to t_0}\int_D f(t,x)dx$
      6. jestliže pro integrabilní $g$ platí $\left|\frac{\partial f(t,x)}{\partial t}\right|\leq g(x)$ a jestliže v nějakém okolí $U$ bodu $t_0$ všechny symboly v následující formuli dávají smysl, potom $\int_D\frac{\partial f(t_0,-)}{\partial t}={d\over dt}\int_Df(t_0,-)$
    • nejdůležitější pravidlo: $\int\lim f_n=\lim\int f_n$, je-li $|f_n(x)|\leq K$ pro nějaké pevné $K$
      • je speciální případem pravidla (4)
    • princip Lebesgueova integrálu
      • Lebesgueův integrál je založen na spočetných součtech
      • tedy předpokládá, že pro posloupnost disjunktních množin $A_n\subseteq\mathbb E_k$ platí $\text{vol}(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty\text{vol}(A_n)$
  • Příklad: Co se dá udělat s kompaktními obory hodnot které nejsou intervaly
    • Tietzova věta (bez důkazu): buď $Y$ uzavřený podprostor metrického prostoru $(X,d)$, potom každá spojitá funkce $f:Y\to\braket{a,b}$ se dá rozšířit na spojitou $g:X\to\braket{a,b}$
    • pro Lebesgueův integrál platí $\int\lim f_n=\lim\int f_n$, je-li $|f_n(x)|\leq K$ pro nějaké pevné $K$
    • co dělat s kompaktním oborem hodnot, který není cihla
      • mějme kompaktní $D\subseteq\mathbb E_n$
      • $D$ vložíme do cihly $J$
      • $f$ rozšíříme nulovými hodnotami na $J\setminus D$
        • tak dostaneme funkci $g$
      • není jasné, zda má funkce $g$ Riemannův integrál, protože nemusí být spojitá
      • tedy použijeme Tietzovu větu a Lebesgueův integrál
        • definujme $J_n=\set{x\in J\mid d(x,D)\geq\frac1n}$
        • mějme podprostor $D\cup J_n$ uzavřený v $J$
        • na $D\cup J_n$ definujme $g'_n$ jako 0 na $J_n$ a jako $f$ na $D$
        • to je spojitá funkce, podle Tietzeovy věty ji můžeme rozšířit na stejně omezenou $g_n$ na $J$
        • zjevně $\lim g_n=g$
        • tady se nám hodí Lebesgueův integrál
  • Příklad: Substituce (jen intuitivně; role Jacobiánu)
    • substituce v jedné proměnné
      • mějme rostoucí funkci $\phi$ definovanou na okolí kompaktního intervalu $\braket{a,b}$
      • podívejme se na jeho obraz $\braket{\phi(a),\phi(b)}$
      • nechť $\phi$ má derivaci $\phi'$
      • buď $f$ spojitá funkce a $F$ její primitivní funkce
      • potom máme pro složenou funkci $G=F\circ\phi:$
        • $G'(x)=F'(\phi(x))\phi'(x)$
      • podle základní věty analýzy:
        • $\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(x)dx=F(\phi(b))-F(\phi(a))=G(b)-G(a)=\int_a^b f(\phi(x))\phi'(x)dx$
      • tedy výsledné pravidlo vypadá takto: $\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(x)dx=\int_a^b f(\phi(x))\phi'(x)dx$
      • geometrická interpretace
        • rostoucí funkce $\phi$ popisuje deformaci intervalu $\braket{a,b}$, která natahuje nebo smršťuje malé intervaly $\braket{x,x+h}$ v poměru přibližně $\phi'(x)$
        • integrál funkce $f$ chápeme jako součet objemů tenkých obdélníků o stranách $h$ a $f(x)$
        • sčítaný obdélník v integrálu před deformací $\braket{x,x+h}$ bude odpovídat obdélníku s délkou základny $h\cdot\phi'(x)$
        • násobení $\phi'(x)$ tedy zajišťuje jakousi kompenzaci
    • substituce ve více proměnných
      • buď $U$ otevřené okolí kompaktní množiny $D\subseteq\mathbb E_n$
      • buď $\phi:U\to\mathbb E_n$ regulární zobrazení
      • potom pro (dejme tomu spojitou) funkci $f$ máme $\int_{\phi[D]}f=\int_Df(\phi(x))\left|\frac{D(\phi)}{D(x)}\right|dx$
        • kde $\frac{D(\phi)}{D(x)}$ je Jacobián
      • krychlička $\braket{x_1,x_1+h}\times\dots\times\braket{x_n,x_n+h}$ o objemu $h^n$ bude deformována na rovnoběžnostěn definovaný vektory $\phi(x)+h\cdot\left(\frac{\partial\phi_i(x)}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial \phi_i(x)}{\partial x_n}\right)$ (pro $i=1,\dots,n$), jehož objem je $h^n\cdot\left|\frac{D(\phi(x))}{D(x)}\right|$
      • absolutní hodnota Jacobiánu tedy hraje tutéž kompenzační roli jako hodnota $\phi'(x)$ v případě jedné proměnné